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数学問題bot(個人用)
高校数学レベルの問題を呟きます。大学入試やや難レベル中心で,一部難しい問題も含まれます。問題選定は管理人の趣味で,問題分野が偏っています。管理人の為に作ったようなものなのでご了承下さい,問題の感想を呟くかもしれません。現在199題収録。リプを飛ばしてもらえれば解答を作るかも?本家数学問題botとは全く関係ありません。
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数学問題bot(個人用) 3h
さいころをn回投げて出た目を順にX_1,X_2,…,X_nとする。 さらに Y_1=X_1 Y_k=X_k+(Y_{k-1})^{-1} (2≦k≦n) によってY_1,Y_2,…,Y_nを定める。 (1+√3)/2≦Y_n≦1+√3 となる確率p_nを求めよ。(2012京大)
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数学問題bot(個人用) 6h
nを自然数とする。半径1/nの円を互いに重なり合わないように半径1の円に外接させる。このとき外接する円の最大個数をa_nとする。lim[n→∞]a_n/n を求めよ。(東工大)
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数学問題bot(個人用) 9h
nは2以上の整数とする。xの整式f(x)が n^2*Σ[n-1,k=0]f((x+k)/n)=f(x) かつ f(2)=1 を満たすとする。この時f(x)を求めよ。(駿台EXS)
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数学問題bot(個人用) 12h
nを自然数,f(x),g(x),h(x)をどの2つも互いに素な多項式とする。f(x),g(x),h(x)の次数は1以上とする。 ここで,等式 {f(x)}^n+{g(x)}^n={h(x)}^n ・・・(☆) について考える。n≧3ならば☆を満たす多項式は存在しないことを示せ。
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数学問題bot(個人用) 15h
n(n+1)(n+2)(n+3)は平方数か。
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数学問題bot(個人用) 18h
aを0<a<1/4を満たす実数とする。xy平面上で,不等式y^2≦x^2*(1-x^2)-aの表す領域をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。(1997年東大)
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数学問題bot(個人用) 21h
p,qは実数定数で,0<p<q<1を満たす。このとき関数f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx))を考える。 このとき,0<c<1かつc=f(c)を満たす実数cがあることを示せ。(14年東大)
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数学問題bot(個人用) 24h
∫[0,π](e^x)sin^2xdx>8であることを示せ。(1999年東大)
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数学問題bot(個人用) Sep 24
点と,点と点を結ぶ辺の集合をグラフと呼ぶ。グラフG(n)の点集合を{(i,j)|1≦i<j≦n,i,j∈N}とし,(i, j)と(k, l)をj=kのときに限って辺で結ぶ。点を隣り合う点が異なる色になるよう彩色する時n→∞とすれば無限色で塗れる事を示せ(大数1999年12月宿題)
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数学問題bot(個人用) Sep 23
n≧0において,整数a.b.c.dに対し x_{n+2}-(a+d)*x_{n+1}+(ad-bc)x_n=0 が成立している。ただし,x_0=0,x_1=aとする。 … 続き (94年京大後期)
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数学問題bot(個人用) Sep 23
f(x)はx^n の係数が1であるxのn次式である相異なるn個の有理数q_1…q_n に対してf(q_1)…f(q_n)がすべて有理数であれば,f(x)の係数はすべて有理数であることを数学的帰納法を用いて示せ.(2002年京大後期)
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数学問題bot(個人用) Sep 23
f(x)=|sinx+cosx+tanx+1/sinx+1/cosx+1/tanx| と置く。ただしxは0≦x<π/2,π/2<x<π,π<x<3π/2,3π/2<x<2π とする。f(x)の最小値を求めよ。(パトナム競争)
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数学問題bot(個人用) Sep 23
半径3の球T_1と半径1の球T_2が,内接した状態で空間に固定されている。半径1の球Sが次の条件を満たしながら動く。1:SはT_1の内部にあるか内接,2:SはT_2の外部にあるかT_2に外接 Sの中心が存在する範囲をDとするとき,Dの体積を求めよ。(2010年阪大)
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数学問題bot(個人用) Sep 23
次の不等式を満たす整数a,b,cで,どれか1つは0でなく,かつどの絶対値も10^6を超えないものが存在する事を示せ. |a+b√2+c√3|<10^-11 (有名難題)
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数学問題bot(個人用) Sep 23
任意の非負整数nに対してcos(2^n*x)<0となるような実数x(0≦x<2π)を求めよ。
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数学問題bot(個人用) Sep 23
命題Pを示せ。 命題P 次の条件(a),(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。 (a) Aは2の冪乗である。 (b) Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。(13年東大前期改)
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数学問題bot(個人用) Sep 22
2つの奇数a.bに対して,m=11a+b,n=3a+bと置く。次の(1),(2)を証明せよ。 (1)m,nの最大公約数は,a,bの最大公約数をdとして、2d,4d,8dのいずれかである。 (2)m,nがともに平方数とはならない。(1989京大後期)
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数学問題bot(個人用) Sep 22
Oは座標の原点、P,Qは格子点とする。OPQが鋭角三角形を作るようにP,Qを動かす時、 OPQの面積の最小値を求めよ。
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数学問題bot(個人用) Sep 22
正の数a,b,cが三角形の長さになるように動く. F=(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca) とするとき,Fの取りうる値を求めよ.(2011年東工大AO)
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数学問題bot(個人用) Sep 22
fは一次変換とする。fによって自分自身に写される直線はないが,f^3によって自分自身に写される直線はある。 このとき,f^2によって自分自身に写される直線はあるかどうか判定せよ。(学コン)
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