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数学問題bot(個人用)
高校数学レベルの問題を呟きます。大学入試やや難レベル中心で,一部難しい問題も含まれます。問題選定は管理人の趣味で,問題分野が偏っています。管理人の為に作ったようなものなのでご了承下さい,問題の感想を呟くかもしれません。現在199題収録。リプを飛ばしてもらえれば解答を作るかも?本家数学問題botとは全く関係ありません。
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数学問題bot(個人用) 2h
k>0とする。xy平面上の2曲線y=k(x-x^3),x=k(y-y^3)が第一象限に(α≠β)なる交点を持つようなkの範囲を求めよ。(1989年東大)
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数学問題bot(個人用) 5h
自然数nの約数の個数をf(n)と表すことにする.このとき n/f(n)^2の値が最小となるnの値を求めよ.(学力コンテスト)
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数学問題bot(個人用) 8h
m^3+3m^2+2m+6=n^3を満たす正の整数m, nの組をすべて求めよ。(一橋)
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数学問題bot(個人用) 11h
7(x+y+z)=2(xy+yz+zx)を満たす自然数の組(x,y,z)を求めよ。(x≦y≦z) (2007大分医大)
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数学問題bot(個人用) 14h
y=x^2+ax+bで定まる曲線をSとし,y=-x^2+2xで定まる曲線をC_1とする。 n=1,2,3,…に対して,曲線C_nがSに接しながら動くとき,Sの頂点の軌跡となる曲線をC_(n+1)とする。 C_nの方程式を求めよ。
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数学問題bot(個人用) 17h
数列{a_n}を a_1=a(aは実数) .a_(n+1)=(a_n)^2-2 と定める。 ここで,a_(n+p)=a_nを満たす,nによらない自然数pが存在するとき, pのうち最小のものを{a_n}の基本周期と呼ぶ。周期が2以上のとき,aは無理数であることを示せ。(学コン)
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数学問題bot(個人用) 20h
a,b,c,dを実数,A=([a,b],[c,d]) とする。 (pA+qE)^2=-E(Eは単位行列)となるような実数p,qが存在し,かつbc=k(定数)となるように 実数a,b,c,dを動かすとき,xy平面上において点(a+d,ad)が動きうる領域を求めよ。(学力コンテスト)
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数学問題bot(個人用) 23h
四角形ABCDがあり,∠ABC=∠ADC=90°,0°<∠DAB<90°であるとする。Bから辺ADに下ろした垂線の足をHとし,DからABに下ろした垂線の足をKとする。HKはACと垂直であることを示せ。
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数学問題bot(個人用) Nov 16
正の整数mが与えられている。正の整数n,x,yに対し (x^2+y^2)^m=(xy)^n が成り立ち,さらにmとnが互いに素のとき,n,x,yをmで表せ。
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数学問題bot(個人用) Nov 16
4つの正数a,b,c,dについてa=b=c=dでないならば,4つの数a(1-b),b(1-c),c(1-d),d(1-a)のうち少なくとも1つは1/4より小さいことを証明せよ. (1978年東京理科大)
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数学問題bot(個人用) Nov 16
nは2以上の整数であり, 1/2<a_j<1 (j=1,2,3,…,n) であるとき,不等式 (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n) > 1 - (a_1+(a_2/2)+(a_3/2^2)+…+(a_n/2^{n-1})) が成立することを示せ。(2011年京大)
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数学問題bot(個人用) Nov 16
lim[n→∞]|sin(π√(9n^2+2n+1))|を求めよ。(北大)
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数学問題bot(個人用) Nov 16
f(x)=ax^3+bx^2+cxをxの三次式とする。 すべての整数nに対して,f(n)が整数となるための必要十分条件は,適当な整数p,q,rをとると, f(x)=(p/6)*x(x+1)(x+2) +(q/2)*x(x+1)+rxと表されることを示せ。(1988年京大文)
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数学問題bot(個人用) Nov 16
自然数nに対し,(n)^(1/3)との差の絶対値が最小である整数を3乗したものをf(n)とし, nとの差の絶対値が最小である立方数をg(n)とする。 f(n)≠g(n)となるnのうち,10^6未満のものは何個有るか.
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数学問題bot(個人用) Nov 16
pは素数とする。以下の条件がすべての整数xについて成り立つような自然数nを全て求めよ。 条件)x^n-1がpで割り切れるならば,p^2でも割り切れる。(2011年数学オリンピック本選)
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数学問題bot(個人用) Nov 15
正の有理数xを既約分数で表したとき、その分母の平方をf(x)とする(自然数nに対してはf(n)=1) 相異なる正の有理数x,yに対して、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 2/|x-y|≦f(x)+f(y) (1983年東工大①(1))
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数学問題bot(個人用) Nov 15
座標空間に,中心A(-3,-2,3),半径2の球Sと点光源B(-5,-4,5)がある. 点Bからの光で,xy平面上にできるSの影の境界線をCとする. Cの式をx,yで表せ.
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数学問題bot(個人用) Nov 15
a≧b>0とする。自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。 a^n-b^n≦n/2*(a-b)(a^{n-1}-b^{n-1}) (1982年名大)
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数学問題bot(個人用) Nov 15
3以上の任意の整数nにおいて、n<p<n!を満たす素数pが少なくともひとつ存在することを示せ。(1997京都教育大)
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数学問題bot(個人用) Nov 15
次数がnである多項式f(x)と,f(x)*(x-λ)の係数のうち,その係数の絶対値が最大のものをそれぞれa,cとする。このとき,(a/c)≦n-1であることを,λの絶対値が1より大きいか小さいかで場合分けして示せ。(北海道数学コンテスト)
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