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数学問題bot(個人用)
高校数学レベルの問題を呟きます。大学入試やや難レベル中心で,一部難しい問題も含まれます。問題選定は管理人の趣味で,問題分野が偏っています。管理人の為に作ったようなものなのでご了承下さい,問題の感想を呟くかもしれません。現在199題収録。リプを飛ばしてもらえれば解答を作るかも?本家数学問題botとは全く関係ありません。
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数学問題bot(個人用) 2h
pを素数,a,bを互いに素な正の整数とするとき,(a+bi)^pは実数でないことを示せ。(2000年京大前期理系)
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数学問題bot(個人用) 5h
2^n(1≦n≦555)を十進法で表した時、最高位が1になるものと4になるものはそれぞれ何個か。ただし2^555は168桁で最高位は1である。 (早稲田教育)
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数学問題bot(個人用) 8h
数列a{n}は以下の条件を満たす。 (m+n)a_{m+n}≦ma_{m}+na_{n} (m,nは自然数) このときlim[n→∞]a_nが存在することを示せ。(-∞を含む)
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数学問題bot(個人用) 11h
a,b,cを三辺の長さとする三角形が存在するとし,その面積をSとする. (1)a,b+1,c+1を3辺の長さとする三角形が存在することを示せ.また, … 続き
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数学問題bot(個人用) 14h
{x(x-1)(x-2)}^2=k…☆を考える。 ☆が相異なる6つの実数解を持つkの範囲をk_1<k<k_2とするとき,この範囲でkを動かす。 実数解で最大のものをα,2番目に大きいものをβとするとき, lim[k→k_1+0](1/(α-2)+1/(β-2))を求めよ(学コン)
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数学問題bot(個人用) 17h
nを自然数,P(x)をn次多項式とする. P(0),P(1),P(2),…,P(n)が整数ならば,全ての整数kに対し,P(k)は整数であることを示せ.(東工大,群馬大)
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数学問題bot(個人用) 20h
整数係数で最高次の係数が1の多項式f(x)が与えられている。また単位円上の点をP(x)=(cos2πf(x),sin2πf(x))と定め,円の弧Iで長さがL(0<L<2π)であるものを固定する。 … 続き (01年東大後期)
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数学問題bot(個人用) 23h
実数係数の2次式f(x)=x^2+ax+bについて,f(1),f(1+√2),f(√3)のいずれかは無理数であることを示せ。(1999年京大前期理系)
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数学問題bot(個人用) Jan 18
2つの奇数a.bに対して,m=11a+b,n=3a+bと置く。次の(1),(2)を証明せよ。 (1)m,nの最大公約数は,a,bの最大公約数をdとして、2d,4d,8dのいずれかである。 (2)m,nがともに平方数とはならない。(1989京大後期)
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数学問題bot(個人用) Jan 18
Aを2次の正方行列とする。列ベクトルx_0に対し,列ベクトルを x_{n+1}=Ax_n(n=0…) と定める。 ある零ベクトルではないx_0について,3以上の自然数mで初めてx_mがx_0と一致するとき,行列A^mは単位行列Eであることを示せ。(2007年京大)
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数学問題bot(個人用) Jan 17
空間内に四面体ABCDを考える。このとき,その頂点A,B,C,Dを同時に通る球面が存在することを示せ。(2011年京大理系)
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数学問題bot(個人用) Jan 17
A,B,C,Dの4人が各々何枚かのカードを手に持ち,次のようなゲームを優勝者が決まるまで繰り返し行う。 各回のゲームではA,B,C,Dから等確率で勝者が一人決まり,勝者となった者だけが手持ちのカードから1枚を箱の中に捨てる。 … 続き
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数学問題bot(個人用) Jan 17
nを自然数とし,n以下の素数の個数を,f(n)と表記する。 このとき, n≦4^(f(n)) が成立することを示せ。
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数学問題bot(個人用) Jan 17
1が記入されたカード,2が記入されたカード,4が記入されたカードが1枚ずつ計3枚箱の中に入っている。この箱の中から無作為に1枚のカードを取り出し,次のような操作を行ってもとの箱に戻すことを繰り返す。 … 続き
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数学問題bot(個人用) Jan 17
4つの格子点O(0,0),A(a,b),B(a,b+1),C(0,1)を考える。ただし,a,bは正の整数で,互いに素である。 平行四辺形OABCの内部にある格子点全体をP_1,…,P_iとするとき,三角形OP_iAの面積のうちの最小値を求めよ。(1989京大後期理学部専用問題)
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数学問題bot(個人用) Jan 17
x^2-xy-y^2=1を満たす自然数の組(x,y)は有限か。
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数学問題bot(個人用) Jan 17
x+y=zp , xy=z^2*(zp-1) を自然数x,y,z および素数pが満たす。pを用いて,自然数の組(x,y,z)を決定せよ。(大数2011年5月学コン)
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数学問題bot(個人用) Jan 16
関数f(x)を (sinxcosx≧0 → f(x)=1) , (sinxcosx<0 → f(x)=0) と定義する。このとき,lim[n→∞]1/n * Σ[k=0,n-1]|f(k+1)-f(k)| を求めよ。(芝浦工大)
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数学問題bot(個人用) Jan 16
2^n(1≦n≦555)を十進法で表した時、最高位が1になるものと4になるものはそれぞれ何個か。ただし2^555は168桁で最高位は1である。 (早稲田教育)
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数学問題bot(個人用) Jan 16
nはn≧2をみたす自然数とする。 x^n-nx-1=0,x>1の解をx_nとするとき,x_nとx_(n+1)の大小関係を求めよ。
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