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数学問題bot(個人用)
高校数学レベルの問題を呟きます。大学入試やや難レベル中心で,一部難しい問題も含まれます。問題選定は管理人の趣味で,問題分野が偏っています。管理人の為に作ったようなものなのでご了承下さい,問題の感想を呟くかもしれません。現在199題収録。リプを飛ばしてもらえれば解答を作るかも?本家数学問題botとは全く関係ありません。
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数学問題bot(個人用) 2h
rはr>1/2πを満たす実数とする。このとき, S(r)=(1/2)r^2{(1/r) - sin(1/r)} の最大値を求めよ。(94年京大後期)
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数学問題bot(個人用) 5h
n≧0において,整数a.b.c.dに対し x_{n+2}-(a+d)*x_{n+1}+(ad-bc)x_n=0 が成立している。ただし,x_0=0,x_1=aとする。 … 続き (94年京大後期)
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数学問題bot(個人用) 8h
一辺の長さ2の正方形を,その対角線の交点Oのまわりに角度θ(0≦θ≦π/2)だけ時計回りに回転したとき,両方の正方形の共通部分の面積Sの最小値を求めよ。
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数学問題bot(個人用) 11h
実数a,bに対し x_n=1/n^b*{1/n^a+1/(n+1)^a+……+1/(2n-1)^a}, n=1,2,3,…… とおく。n→∞のときx_nが収束するためのa,bの条件およびそのときの極限値を求めよ。(東工大)
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数学問題bot(個人用) 14h
aを実数とする。(1)曲線y=(8/27)x^3と放物線y=(x+a)^2の両方に接する直線がx軸以外に2本あるようなaの範囲を求めよ。(2)aが(1)の範囲にあるとき,この 2本の接線と放物線y=(x+a)^2で囲まれた部分の面積Sをaを用いて表せ。(1997年東大前期)
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数学問題bot(個人用) May 20
(10^210)/(10^10+3) の整数部分の下一桁を求めよ。ただし3^21=10460353203である。(東大1989年)
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数学問題bot(個人用) May 20
xy平面上には,以下の条件を満たす格子点の組(P_1,P_2,P_3,…,P_N)が存在することを示せ。(N≧3) 条件:どの2つの格子点間の距離も整数値であり,かつどの3つの格子点も一直線上にない。(00年東大後期)
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数学問題bot(個人用) May 20
a_1=α,(0<α<1),a_{n+1}=3(a_n)^2/(2(a_n)^2+1)とする。lim[n→∞]a_nを求めよ。(2008年北大誘導略)
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数学問題bot(個人用) May 19
一次以上の整数係数多項式について,f(1),f(2),f(3),…の中には素数でないものが含まれることを示せ。
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数学問題bot(個人用) May 19
rはr>1/2πを満たす実数とする。このとき, S(r)=(1/2)r^2{(1/r) - sin(1/r)} の最大値を求めよ。(94年京大後期)
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数学問題bot(個人用) May 19
f(x)はx^n の係数が1であるxのn次式である相異なるn個の有理数q_1…q_n に対してf(q_1)…f(q_n)がすべて有理数であれば,f(x)の係数はすべて有理数であることを数学的帰納法を用いて示せ.(2002年京大後期)
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数学問題bot(個人用) May 19
半径3の球T_1と半径1の球T_2が,内接した状態で空間に固定されている。半径1の球Sが次の条件を満たしながら動く。1:SはT_1の内部にあるか内接,2:SはT_2の外部にあるかT_2に外接 Sの中心が存在する範囲をDとするとき,Dの体積を求めよ。(2010年阪大)
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数学問題bot(個人用) May 19
lim[n→∞](3n_C_n/2n_C_n)^(1/n)を求めよ。(1988年東工大)
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数学問題bot(個人用) May 19
xy平面上の単位円Cと,条件-1<a<-1/2を満たす実数aに対し,点R(a,0)を考える。C上の点PにおけるCの接線と,Rを通りこの直線と直交する直線の交点をQとする。点PがCを一周するときに,Qが描く曲線をDとする。Dで囲まれる図形の面積を求めよ。(2001年京大後期)
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数学問題bot(個人用) May 19
x^2-xy-y^2=1を満たす自然数の組(x,y)は有限か。
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数学問題bot(個人用) May 18
f(x)=(logx)/xでf(x)を定める。 (1)任意の自然数nに対して,f(x)=1/en,0<x≦eなる実数がただ1つ存在することを示せ。 (2)(1)の解をα_nとおくとき,lim[n→∞]n(α_n-1)が収束することを示し,極限値を求めよ。
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数学問題bot(個人用) May 18
数列{a_n}を a_1=a(aは実数) .a_(n+1)=(a_n)^2-2 と定める。 ここで,a_(n+p)=a_nを満たす,nによらない自然数pが存在するとき, pのうち最小のものを{a_n}の基本周期と呼ぶ。周期が2以上のとき,aは無理数であることを示せ。(学コン)
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数学問題bot(個人用) May 18
2^n(1≦n≦555)を十進法で表した時、最高位が1になるものと4になるものはそれぞれ何個か。ただし2^555は168桁で最高位は1である。 (早稲田教育)
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数学問題bot(個人用) May 18
1が記入されたカード,2が記入されたカード,4が記入されたカードが1枚ずつ計3枚箱の中に入っている。この箱の中から無作為に1枚のカードを取り出し,次のような操作を行ってもとの箱に戻すことを繰り返す。 … 続き
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数学問題bot(個人用) May 18
実数全体で定義された微分可能な関数f(x)は,f(x)>0をみたし,かつ正の実数に対してつねにf´(x)>{f(x)}^αとなるならば、α=1であることを示せ。(東大オープン)
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