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数学問題bot(個人用)
高校数学レベルの問題を呟きます。大学入試やや難レベル中心で,一部難しい問題も含まれます。問題選定は管理人の趣味で,問題分野が偏っています。管理人の為に作ったようなものなのでご了承下さい,問題の感想を呟くかもしれません。現在199題収録。リプを飛ばしてもらえれば解答を作るかも?本家数学問題botとは全く関係ありません。
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数学問題bot(個人用) 27m
整数を係数とする3次の多項式f(x)が次の条件を満たしている。 条件:任意の自然数nに対し,f(n)はn(n+1)(n+2)で割り切れる このとき,ある整数aがあって,f(x)=ax(x+1)(x+2)となることを示せ。(1991京大後期理学部専用問題)
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数学問題bot(個人用) 3h
f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x はx=pで極大値をとるとする。 aはa≠0を満たしながら動く実数で,rは r≧pを満たしながら動く実数とする。 点(r,f(r))の動きうる範囲を図示せよ。(一橋後期)
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数学問題bot(個人用) 6h
n,kは自然数。関数f(k)をf(k)=k+(n/k)と定める。f(k)の最小値の整数部分は,√(4n+1)の整数部分と一致することを示せ。
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数学問題bot(個人用) 9h
a^b+1が素数ならば,b=2^c(cは整数)となることを示せ。(2007千葉大理-後)
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数学問題bot(個人用) 12h
同じ円に内接する正n辺形、正2n辺形、正3n辺形の面積をそれぞれS_n,S_2n,S_3nで表す。不等式 √3/2*S_2n > S_n > 2/3*S_3n が成り立つのはnがどんな値のときか。(東工大)
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数学問題bot(個人用) 15h
nを正の整数とする。3次方程式x^3+3nx^2-(3n+2)=0について答えよ (1)すべての正の整数nについて3次方程式は正の解をただ1つしか持たないことを証明せよ (2)各正の整数nに対して,3次方程式の正の解をa_nとする。lim[n→∞]a_nを求めよ(2008弘前大)
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数学問題bot(個人用) 18h
a,b,p,qは全て自然数で, (p^2+q^2)/a = pq/b を満たしている。aとbは互いに素とする。√(a+2b)は自然数であることを示せ。(1998年京大後期文系)
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数学問題bot(個人用) 21h
3以上の任意の整数nにおいて、n<p<n!を満たす素数pが少なくともひとつ存在することを示せ。(1997京都教育大)
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数学問題bot(個人用) Jul 22
x^2-xy-y^2=1を満たす自然数の組(x,y)は有限か。
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数学問題bot(個人用) Jul 22
自然数の組{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}を,2つの組に分けることを考える。 おのおのの組の数の積が等しくなるように分ける事が出来る,自然数nをすべて求めよ。(1970年国際数学オリンピック)
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数学問題bot(個人用) Jul 22
rはr>1/2πを満たす実数とする。このとき, S(r)=(1/2)r^2{(1/r) - sin(1/r)} の最大値を求めよ。(94年京大後期)
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数学問題bot(個人用) Jul 21
θが定数のとき,{cosnθ}が収束するようなθの条件を求めよ。(滋賀医科大)
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数学問題bot(個人用) Jul 21
n,kは自然数。関数f(k)をf(k)=k+(n/k)と定める。f(k)の最小値の整数部分は,√(4n+1)の整数部分と一致することを示せ。
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数学問題bot(個人用) Jul 21
平面上の一次変換fが直交するベクトルの組を,常に直交するベクトルの組に写像するとする。このとき→0でない任意のベクトル→aに対して,|f(→a)|/|→a|は一定であることを示せ。(1980年早稲田)
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数学問題bot(個人用) Jul 21
同じ円に内接する正n辺形、正2n辺形、正3n辺形の面積をそれぞれS_n,S_2n,S_3nで表す。不等式 √3/2*S_2n > S_n > 2/3*S_3n が成り立つのはnがどんな値のときか。(東工大)
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数学問題bot(個人用) Jul 21
aは正の実数とする。不等式a^x≧axがすべての正の数xに対して成り立つという。このときaはどのようなものか。(1993京大後期)
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数学問題bot(個人用) Jul 21
xyz空間に2点A(1.0,0),B(0,1,0)をとる。点Pが線分AB上を,点Qがx軸上のx≧0の部分をPQ=1を満たしてそれぞれ動くとき、 線分PQの軌跡と,xy平面が囲む部分の体積を求めよ。
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数学問題bot(個人用) Jul 21
点Oを中心とする半径1の円を外接円とする三角形ABCを考える。 |→OA+→OB+→OC|=1 を満たす三角形はどのような三角形か。
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数学問題bot(個人用) Jul 21
2^(k-1) (0≦k≦n) の最高位の数が1の個数をa_n 4の個数をb_n とする。lim[n→∞]b_n/a_n を求めよ。(東大実戦)
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数学問題bot(個人用) Jul 20
nを自然数とする。関数y=√xのグラフをCとし,C上の2点(n,√n)と(n+1,√(n+1))を通る直線をlとする。Cとlで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。このときlim[n→∞]n^b*V=bを満たす正の数a,bを求めよ。(2007年阪大)
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